Question

15．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F且垂直于x軸的直線在第一象限內(nèi)與C、C的漸近線的交點分別為A、B，若A是BF的中點，則C的離心率為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出A，B的坐標(biāo)，結(jié)合中點坐標(biāo)公式建立a，c的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：根據(jù)題意可求得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，$\frac{bc}{a}$），
∵A為BF的中點，∴2•$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{bc}{a}$，即c=2b，
∴雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}-^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直線和雙曲線的相交關(guān)系求出交點坐標(biāo)，結(jié)合中點坐標(biāo)公式以及離心率的公式是解決本題的關(guān)鍵．