Question

2．斜率是1的直線與橢圓${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的點(diǎn)，且AP=2PB，則點(diǎn)P的軌跡方程是148x²+13y²+64xy-20=0（在橢圓內(nèi)）．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由x₁，x₂是方的兩個(gè)根，分別求得x₁，x₂，由AP=2PB，求得x′=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，代入即可即可求得P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P（x′，y′），則過(guò)y=x+（y′-x′）$\left\{\begin{array}{l}{y=x+（y′-x′）}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+2（y′-x′）x+（y′-x′）²-4=0，（※）
若直線l橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，則x₁，x₂是方程（※）的兩個(gè)根，且
x₁=$\frac{-（y′-x′）-2\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}}{5}$，①
x₂=$\frac{-（y′-x′）+2\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}}{5}$，②
由AP=2PB，x₁＜x₂，則x′=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，
代入整理得：4x′+y′=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5-（y′-x′）^{2}}$，丨y′-x′丨＜$\sqrt{5}$，
兩邊同時(shí)平方：148x′²+13y′²+64x′y′-20=0，
∴點(diǎn)P的軌跡方程148x²+13y²+64xy-20=0（在橢圓內(nèi)）．
故答案為：148x²+13y²+64xy-20=0（在橢圓內(nèi)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，軌跡方程求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．