Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2e}$-ax．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥ax-$\frac{1}{2}$≥lnx-ax在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，求出切點，運用點斜式方程可得所求切線的方程；
（2）由ax-$\frac{1}{2}$≥lnx-ax在（0，+∞）上恒成立，即為lnx-2ax+$\frac{1}{2}$≤的最大值，顯然a＞0，設(shè)g（x）=lnx-2ax-$\frac{1}{2}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，進而得到-$\frac{1}{2}$≥-ln（2a）-1①，再由f（x）≥ax-$\frac{1}{2}$恒成立，運用配方法，可得-$\frac{1}{2}$≤-2ea²，②，求出a的值即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2e}$-$\frac{1}{2}$x，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{x}{e}$-$\frac{1}{e}$，
可得曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線斜率為k=f′（e）=$\frac{1}{2}$，
切點為（e，0），
則曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程為y-0=$\frac{1}{2}$（x-e），
即有x-2y-e=0；
（2）ax-$\frac{1}{2}$≥lnx-ax在（0，+∞）上恒成立，
即為lnx-2ax+$\frac{1}{2}$≤0，設(shè)g（x）=lnx-2ax+$\frac{1}{2}$，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a，若a≤0，g′（x）＞0恒成立，
g（x）在（0，+∞）遞增，無最值；
故a＞0，則當(dāng)x＞$\frac{1}{2a}$，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2a}$，g′（x）＞0，g（x）遞增；
可得g（x）在x=$\frac{1}{2a}$處取得極大值，且為最大值-ln（2a）-$\frac{1}{2}$；
則ln（2a）+$\frac{1}{2}$≥0，解得：a≥$\frac{\sqrt{e}}{2e}$，①
由f（x）≥ax-$\frac{1}{2}$，即為$\frac{{x}^{2}}{2e}$-2ax+$\frac{1}{2}$≥0，
由 $\frac{{x}^{2}}{2e}$-2ax=$\frac{1}{2}$（x-2ea）²-2ea²，
當(dāng)x=2ea時，取得最小值-2ea²，
則-$\frac{1}{2}$≤-2ea²，解得：-$\frac{\sqrt{e}}{2e}$≤a≤$\frac{\sqrt{e}}{2e}$②
綜上，a=$\frac{\sqrt{e}}{2e}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，運用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．