Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}通項a_n
（2）數(shù)列的前n項和為S_n，若3（1-ka_n）≤S_n•a_n對任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=2ⁿ，得a_na_n-1=2^n-1，兩式相比，即得

an+1

an-1

=2，從而求得數(shù)列{an}的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，故求數(shù)列{a_n}通項；
（2）分別求得S_n=2

n+3

2

-3，n為奇數(shù)；S_n=3（2

n

2

-1），n為偶數(shù)；再利用分離參數(shù)法，考查相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，求出相應(yīng)的最值，從而求出參數(shù)的范圍．

解答：解：（1）∵a_na_n+1=2ⁿ∴a_na_n-1=2^n-1，兩式相比，∴

an+1

an-1

=2，∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列
∴a_n=2

n-1

2

，n為奇數(shù)；a_n=2

n

2

，n為偶數(shù)；
（2）S_n=2

n+3

2

-3，n為奇數(shù)；S_n=3（2

n

2

-1），n為偶數(shù)；
當(dāng)n為奇數(shù)時，，3（1-ka_n）≤S_n•a_n
3（1-ka_n）≤（2

n+3

2

-3）a_n，
∴k≥

3-(2 n+3 2 -3)an

3an

∴K≥

1

an

-（

1

3

•2

n+3

2

-1）=

1

2 n-1 2

-

1

3

•2

n+3

2

+1
F（n）=

1

2 n-1 2

-

1

3

•2

n+3

2

+1單調(diào)遞減；F（1）=

2

3

最大；K≥

2

3

當(dāng)n為偶數(shù)時，3（1-ka_n）≤S_n•a_n
3（1-ka_n）≤3（2

n

2

-1）a_n∴k≥

1-(2 n 2 -1)an

an

=

1

2 n 2

-2

n

2

+1
F（n）=

1

2 n 2

-2

n

2

+1單調(diào)遞減，所以n=2時F（2）=-0.5
K≥-0.5
綜合上面可得k≥

2

3

點評：本題考查恒成立問題的出來方法，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬中檔題