Question

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為（β為參數(shù)），P是C₂上的點，線段OP的中點在C₁上．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦長；
（Ⅱ）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，求點P的一個極坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先將曲線C₁、C₂化成一般方程，是兩個圓的方程，得到兩圓的公共弦所在直線為y=x，其中一個圓的圓（2，0）到該直線距離為，利用直角三角形求出公共弦長．
（Ⅱ）將曲線C₁、C₂的直角坐標方程化成極坐標方程，設M（ρ，θ），則P（2ρ，θ），兩點分別代入C₁和C₂解得極徑和極角，從而得出點P的一個極坐標．
解答：解：（Ⅰ）曲線C₁的一般方程為x²+（y-2）²=4，
曲線C₂的一般方程為（x-2）²+y²=4．（2分）
兩圓的公共弦所在直線為y=x，（2，0）到該直線距離為，所以公共弦長為．（5分）
（Ⅱ）曲線C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，
曲線C₂的極坐標方程為ρ=4cosθ．（7分）
設M（ρ，θ），則P（2ρ，θ），兩點分別代入C₁和C₂解得，θ不妨取銳角，
所以．（10分）
點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把直角坐標方程化為極坐標方程的方法，以及兩圓位置關系的判斷方法，求兩圓的公共弦長等，屬于基礎題．