Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.
（1）求證: 為奇函數(shù);
（2）求證: 在上為單調(diào)遞增函數(shù);
（3）設(shè),若<,對所有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

解析試題分析：（1）因為有，
令，得，所以，                      ……1分
令可得：
所以，所以為奇函數(shù).                                ……4分
（2）是定義在上的奇函數(shù),由題意
則，

是在上為單調(diào)遞增函數(shù);                                     ……8分
（3）因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在上的最大值為，                               ……9分
所以要使<,對所有恒成立，
只要>1,即>0，                                   ……10分
令

.                                             ……12分
考點：本小題主要考查有關(guān)抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和恒成立問題，考查學(xué)生分析問題、解決問題和靈活轉(zhuǎn)化的能力.
點評：解決抽象函數(shù)問題常用的方法是“賦值法”，而要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，還要借助圖象,數(shù)形結(jié)合來解決.對于恒成立問題，要轉(zhuǎn)為為求最值來解決，而（３）中將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，是這道題解題的亮點所在．