(2012•廣元三模)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上為增函數(shù),在[0,2]上為減函數(shù),又方程f(x)=0有三個(gè)根α,2,β.
(I)求c的值并比較f(l)與2的大;
(II)求|α-β|的取值范圍.
分析:(I)利用已知函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=0,由f′(0)=0即可得c的值,再利用函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)該在函數(shù)的零點(diǎn)之間,且方程的一個(gè)零點(diǎn)為2的特點(diǎn),比較f(l)與2的大小
(II)由于方程f(x)=0有三個(gè)根α,2,β.故可設(shè)函數(shù)為f(x)=(x-α)(x-2)(x-β),展開(kāi)后找到α、β與b、d的關(guān)系,進(jìn)而利用(I)中的結(jié)論,將|α-β|的平方表示為關(guān)于b的一元函數(shù),求其取值范圍即可
解答:解:(I)∵f′(x)=3x2+2bx+c
∵函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0)上為增函數(shù),在[0,2]上為減函數(shù)
∴函數(shù)f(x)在x=0時(shí)取得極值,即f′(0)=0
∴c=0
∴f(1)=1+b+d
又f′(x)=3x2+2bx的兩根為0,-
2b
3
,而方程f(x)=0有三個(gè)根α,2,β.
∴-
2b
3
≥2,且8+4b+d=0
∴b≤-3且d=-8-4b
∴f(1)=1+b-8-4b=-7-3b≥2
(Ⅱ)∵f(x)=(x-α)(x-2)(x-β)=x3-(α+β+2)•x2-2αβ
∴α+β+2=-b,-2αβ=d;
∴|β-α|2=(α+β)2-4αβ
=(b+2)2+2d
=b2+4b+4-16-8b
=b2-4b-12
=(b-2)2-16
又∵b≤-3,
∴|β-α|2≥25-16=9
∴|β-α|≥3
當(dāng)且僅當(dāng)b=-3時(shí)取最小值,此時(shí)d=4
故|α-β|的取值范圍為[3,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用,三次函數(shù)的根與極值點(diǎn)間的關(guān)系,將變量表示為關(guān)于另一變量的函數(shù)的能力,代數(shù)變換能力,轉(zhuǎn)化化歸的思想方法
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π6
);③y=ex-1;④y=x2.其中為一階格點(diǎn)函數(shù)的序號(hào)為
①③
①③
(注:把你認(rèn)為正確論斷的序號(hào)都填上)

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5
13
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3
5
,則cosC=(  )

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1
3
,甲勝丙的概率為
1
4
,乙勝丙的概率為
1
3

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x
2
 
9
-
y
2
 
3
=1
相交于A、B兩點(diǎn),則線段AB的長(zhǎng)度為(  )

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