Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且S_n=2-

1

2n-1

，{b_n}為等差數(shù)列，且a₁=b₁，a₂（b₂-b₁）=a₁．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cn=

2n-1

1 2n-1

=(2n-1)•2n-1，故可用錯(cuò)位相減法來求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2-

1

2n-1

）-（2-

1

2n-2

 ）=

1

2n-1

，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，此式也成立，所以an=

1

2n-1

，從而b₁=a₁=1，b2-b1=

a1

a2

=2，
又因?yàn)閧b_n}為等差數(shù)列，所以公差d=2，∴b_n=1+（n-1）•2=2n-1，
故數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式分別為：an=

1

2n-1

，b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知cn=

2n-1

1 2n-1

=(2n-1)•2n-1，
所以Tn=1×20+3×21+5×22+…+（2n-1）•2^n-1    ①
①×2得2Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ   ②
①-②得：-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-（2n-1）•2ⁿ
=1+2

2(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n=1+2ⁿ⁺¹-4-（2n-1）•2ⁿ=-3-（2n-3）•2ⁿ．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和Tn=3+(2n-3)•2n．

點(diǎn)評：本題為數(shù)列的求通項(xiàng)和求和的綜合應(yīng)用，涉及等差等比數(shù)列以及錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題．