Question

10．下列幾個命題
①奇函數(shù)的圖象一定通過原點
②函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)
③函數(shù)f（x）=a^x-1+3的圖象一定過定點P，則P點的坐標是（1，4）
④若f（x+1）為偶函數(shù)，則有f（x+1）=f（-x-1）
⑤若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2（x≤1）}\end{array}\right.$在R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為[4，8）
其中正確的命題序號為③⑤．

Answer 1

分析 ①若在原點無意義，則奇函數(shù)圖象就不過原點；
②可整理為y=0；
③橫過的含義為無論參數(shù)a取何值，函數(shù)都過某一點；
④利用偶函數(shù)的定義自變量x取相反數(shù)，函數(shù)值不變；
⑤分段函數(shù)要使在整個區(qū)間單調(diào)，則必須每個區(qū)間都有相同的單調(diào)性，且在臨界處滿足單調(diào)性．

解答 解：①奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，若在原點有意義，則一定通過原點，故錯誤；
②函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$的定義域為{-1，1}，整理后y=0，即是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，故錯誤；
③a⁰=1，當x=1時，f（1）=4，函數(shù)f（x）=a^x-1+3的圖象一定過定點P（1，4），故正確；
④若f（x+1）為偶函數(shù)，由偶函數(shù)定義可知f（-x+1）=f（x+1），故錯誤；
⑤若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2（x≤1）}\end{array}\right.$在R上的增函數(shù)，
∴a＞1，且4-$\frac{a}{2}$＞0，f（1）≤a，
∴實數(shù)a的取值范圍為[4，8）故正確；
故正確額序號為③⑤．

點評 考查了函數(shù)的奇偶性，分段函數(shù)的單調(diào)性問題．