Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若

OB

=a1

OA

+a2009

OC

，且A，B，C三點(diǎn)共線（O為該直線外一點(diǎn)），則S₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)三點(diǎn)共線可知直線上一個向量可以用另一個表示得

AB

=t

AC

，再根據(jù)向量的三角運(yùn)算法則得

OB

=（1-t）

OA

+t

OC

，而

OB

=a1

OA

+a2009

OC

，得到a₁+a₂₀₀₉=1；再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式得到s_n=

n(a1+an)

2

得，令n=2009得到s₂₀₀₉即可．

解答：解：A，B，C三點(diǎn)共線得

AB

=t

AC

，所以

OB

=

OA

+

AB

=

OA

+t

AC

=

OA

+t（

OC

-

OA

）=（1-t）

OA

+t

OC

，
由

OB

=a1

OA

+a2009

OC

得1-t=a₁，t=a₂₀₀₉，所以a₁+a₂₀₀₉=1；
而s_n=

n(a1+an)

2

得s₂₀₀₉=

2009

2

故答案為

2009

2

點(diǎn)評：考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的前n項和的能力，運(yùn)用向量的共線定理的能力．考查等差數(shù)列，通過對等差數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣．