Question

如圖，斜率為1的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A，B，

（1）若|AB|=8，求拋物線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)C為拋物線(xiàn)弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括A，B兩點(diǎn)），求的面積S的最大值；

（3）設(shè)P是拋物線(xiàn)上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PA，PB分別交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，證明M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值（僅與p有關(guān)）

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3），設(shè)

直線(xiàn)PA的方程，

【解析】

試題分析：設(shè)

（1）由條件知直線(xiàn)由消去y，得………1分

由題意，判別式由韋達(dá)定理，

由拋物線(xiàn)的定義，從而所求拋物的方程為………3分

（2）設(shè)。由（1）易求得

則，點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離

將原點(diǎn)O（0，0）的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的左邊，得

而點(diǎn)C與原點(diǎn)O們于直線(xiàn)的同側(cè)，由線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)知

因此……6分由（1），|AB|=4p。

由知當(dāng)…8分

（3）由（2），易得設(shè)。

將代入直線(xiàn)PA的方程

得同理直線(xiàn)PB的方程為

將代入直線(xiàn)PA，PB的方程得

考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓相交求弦長(zhǎng)，三角型面積

點(diǎn)評(píng)：本題（1）中應(yīng)用焦點(diǎn)弦公式計(jì)算較簡(jiǎn)單，（2）（3）對(duì)于高二期末考試難度大，不建議采用