Question

13．已知點F（-2，0），G是圓${C_1}：{（x+4）^2}+{y^2}=16$上任意一點．
（1）若直線FG與直線x=-4交于點T，且G為線段FT的中點，求圓C被直線FG所截得的弦長；
（2）在平面上是否存在定點P，使得|GP|=2|GF|？若存在．，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出G坐標，得到FG的斜率，求出FG的方程，求出直線FG被圓C截得弦長即可；
（2）假設(shè)存在點P（s，t），設(shè)G（x₀，y₀），根據(jù)|GP|=2|GF|，得到3（${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0①，根據(jù)G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，得到關(guān)于s，t的方程組，解出即可．

解答 解：（1）由題意，得G（-3，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得y_G=±$\sqrt{15}$，
∴FG的斜率為k=±$\sqrt{15}$，F(xiàn)G的方程為y=±$\sqrt{15}$（x+2），
則C（-4，0）到FG的距離為d=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
直線FG被圓C截得弦長為2$\sqrt{16{-（\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}}$=7，
故直線FG被圓C截得弦長為7．
（2）假設(shè)存在點P（s，t），設(shè)G（x₀，y₀），
∵|GP|=2|GF|，∴$\frac{\sqrt{{{（x}_{0}+2）}^{2}{{+y}_{0}}^{2}}}{\sqrt{{{（x}_{0}-s）}^{2}{+{（y}_{0}-t）}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
整理得3（${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$）+（16+2s）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0①，
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$+8x₀=0②，
②代入①得（2s-8）x₀+2ty₀+16-s²-t²=0，
又由G（x₀，y₀）為圓C 上任意一點可知，$\left\{\begin{array}{l}{2s-8=0}\\{2t=0}\\{16{-s}^{2}{-t}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：s=4，t=0，
∴在平面上存在一點P，其坐標為（4，0）．

點評 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率以及點到直線的距離，是一道中檔題．