Question

9．若f（x）=$\frac{1+cos2x}{2cosx}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）的最大值為$\sqrt{2}$+3，則實數(shù)a的值為±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x），再利用三角函數(shù)的有界性求出f（x）的最大值，由此求出a的值．

解答 解：f（x）=$\frac{1+cos2x}{2cosx}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=cosx+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=（$\sqrt{2}$+a²）sin（x+$\frac{π}{4}$）；
依題意有$\sqrt{2}$+a²=$\sqrt{2}$+3，
∴a=±$\sqrt{3}$．
故答案為：±$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題，兩角和公式和二倍角公式的化簡求值．考查了基礎知識的綜合理解和運用