Question

已知a＞0，a≠1，數(shù)列{a_n}是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令b_n=na_nlga（n∈N*）
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．（2）若數(shù)列{b_n}中的每一項總小于它后面的項，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出數(shù)列{a_n}以及數(shù)列{b_n}的通項，再對數(shù)列{b_n}利用錯位相減法求前n項和S_n．
（2）利用條件得到關(guān)于n和a的不等式，分0＜a＜1和a＞1兩種情況分別解不等式即可．
解答：解：（1）由題得：a_n=a•a^n-1=aⁿ，b_n=na_nlga=naⁿlga．
所以s_n=alga+2×a²lga+3×a³lga+…+（n-1）a^n-1lga+naⁿlga，
故as_n=a²lga+2×a³lga+3×a⁴lga+…+（n-1）aⁿlga+naⁿ⁺¹lga，
兩式作差得（1-a）s_n=alga+a²lga+a³lga+…+aⁿlga-naⁿ⁺¹lga=lga•-naⁿ⁺¹lga．
所以s_n=lga-nlga．
（2）由b_n＜b_n+1⇒nlga•aⁿ＜（n+1）lga•aⁿ⁺¹⇒lga•aⁿ[n-（n+1）a]＜0．
當(dāng)0＜a＜1時，lga＜0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＞0⇒a＜，故0＜a＜
當(dāng)a＞1時，lga＞0，aⁿ＞0，⇒n-（n+1）a＜0⇒a＞，故a＞1．
所以a的取值范圍是a＞1或0＜a＜
點評：本題的第一問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．