Question

16．某農(nóng)科所發(fā)現(xiàn)，一種作物的年收獲量 y（單位：kg）與它“相近”作物的株數(shù) x具有線性相關(guān)關(guān)系（所謂兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過 1m），并分別記錄了相近作物的株數(shù)為 1，2，3，5，6，7時，該作物的年收獲量的相關(guān)數(shù)據(jù)如表：

x	1	2	3	5	6	7
y	60	55	53	46	45	41

（1）求該作物的年收獲量 y關(guān)于它“相近”作物的株數(shù)x的線性回歸方程；
（2）農(nóng)科所在如圖所示的直角梯形地塊的每個格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)）處都種了一株該作物，圖中
每個小正方形的邊長均為 1，若從直角梯形地塊的邊界和內(nèi)部各隨機(jī)選取一株該作物，求這兩株作物“相
近”且年產(chǎn)量僅相差3kg的概率．
附：對于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估
計分別為，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，即可寫出回歸方程；
（2）由（1）中回歸直線過程計算x=4時$\stackrel{∧}{y}$的值，
根據(jù)古典概型的概率公式計算對應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（1+2+3+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$×（60+55+53+46+45+41）=50，
$\sum_{i=1}^{6}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×10+（-2）×5+（-1）×3+1×（-4）+2×（-5）+3×（-9）=-84，
$\sum_{i=1}^{6}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-3）²+（-2）²+（-1）²+1²+2²+3²=28；
∴回歸系數(shù)為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-84}{28}$=-3，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=50-（-3）×4=62，
∴該作物的年收獲量y關(guān)于它“相近”作物的株數(shù)x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=-3x+62；
（2）由（1）中回歸直線過程知，
當(dāng)x=4時，$\stackrel{∧}{y}$=-3×4+62=50；
從直角梯形地塊的邊界和內(nèi)部各隨機(jī)選取一株該作物，共有 10×2=20種情形，
因?yàn)檫@兩株作物年產(chǎn)量僅相差3kg，故滿足條件的情形有4種，
所以這兩株作物“相近”且年產(chǎn)量僅相差 3kg的概率為$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．