Question

10．如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ACC₁A₁與底面ABC垂直，$∠ABC=90°，BC=2，AC=2\sqrt{3}，A{A_1}⊥{A_1}C，A{A_1}={A_1}C$．
（1）求側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角；
（2）求頂點(diǎn)C到平面A₁ABB₁的距離．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)O，連AO，由已知得AO⊥底面ABC，從而∠A₁AO是側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角，由此能求出側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角的大�。�
（2）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，過B作垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出頂點(diǎn)C到平面A₁ABB₁的距離．

解答 解：（1）取AC中點(diǎn)O，連AO，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ACC₁A₁與底面ABC垂直，AA₁=A₁C，
∴AO⊥底面ABC，∴∠A₁AO是側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角，
∵AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，
∴∠A₁AO=45°，
∴側(cè)棱AA₁與底面ABC所成的角為45°．
（2）∵∠ABC=90°，
∴以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，過B作垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵∠ABC=90°，$BC=2，AC=2\sqrt{3}$，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，
∴AB=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AA₁=A₁C=$\sqrt{\frac{（2\sqrt{3}）^{2}}{2}}$=$\sqrt{6}$，A₁O=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，
∴C（0，2，0），B（0，0，0），A（2$\sqrt{2}$，0，0），O（$\sqrt{2}，1，0$），A₁（$\sqrt{2}，1，\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BA}$=（2$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}，1，\sqrt{3}$），
設(shè)平面A₁ABB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=\sqrt{2}x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
∴頂點(diǎn)C到平面A₁ABB₁的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角的大小的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．