21.我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.

如圖，點、、是相應橢圓的焦點，、和、分別是“果圓”與、軸的交點.

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

    （2）當時，求的取值范圍；

（3）連接“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由.

解：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為

    ，.                                                 

（2）由題意，得  ，即.

         ，，得.      

又.  .         

    （3）設“果圓”的方程為，.

    記平行弦的斜率為.

當時，直線與半橢圓的交點是

，與半橢圓的交點是.

 的中點滿足

得 .                                                                            

     ，.

    綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上. 

    當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是.  

由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上.                                                                                              

    當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（07年上海卷文）（14分）

我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，． 如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

（2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點．求證：當取得最小值時，在點或處；

    （3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．

如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該

“果圓”的方程；

（2）設是“果圓”的半橢圓

上任意一點．求證：當取得最小值時，在點或處；

    （3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

21.我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.

如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點.

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

（2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點.求證：當取得最小值時，在點或處；

（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011年高中數(shù)學綜合測試卷（選修1-1）（解析版） 題型：選擇題

我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如圖，設點F，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應橢圓的焦點，A1、A2和B1、B2是“果圓”與x，y軸的交點，若△FF1F2是邊長為1的等邊三角，則a，b的值分別為（ ）

A．
B．
C．5，3
D．5，4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011年湖南省益陽市沅江市高三質(zhì)量檢測試卷3（理科）（解析版） 題型：選擇題

我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如圖，設點F，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應橢圓的焦點，A1、A2和B1、B2是“果圓”與x，y軸的交點，若△FF1F2是邊長為1的等邊三角，則a，b的值分別為（ ）

A．
B．
C．5，3
D．5，4

查看答案和解析>>

同步練習冊答案