Question

（滿分14分）設(shè)（為實(shí)常數(shù)）。

（1）當(dāng)時(shí)，證明：①不是奇函數(shù)；

②是上的單調(diào)遞減函數(shù)。

（2）設(shè)是奇函數(shù)，求與的值。

Answer 1

（1）①（驗(yàn)算法）通過求f（-1）與f（1）的值間的關(guān)系來證明；②（定義法）通過函數(shù)的單調(diào)性的定義來證明；（2）法一：直接通過奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）得到一個(gè)關(guān)于x的含參數(shù)a，b的恒成立的方程，比較系數(shù)得到關(guān)于a，b的兩個(gè)方程，解出a，b的值；法二：先對(duì)b討論確定函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、f（0）=0、f（-1）=-f（1）等求出a，b的值.

【解析】

試題分析：

試題解析：（1）①，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031006021009361450/SYS201503100602286568848084_DA/SYS201503100602286568848084_DA.002.png">

，，

所以，即不是奇函數(shù)

②在上任取且，則

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031006021009361450/SYS201503100602286568848084_DA/SYS201503100602286568848084_DA.009.png">，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031006021009361450/SYS201503100602286568848084_DA/SYS201503100602286568848084_DA.015.png">，

所以 ，即

所以是上的單調(diào)遞減函數(shù)。

（2）（法一：）是奇函數(shù)時(shí)，，

即對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)都成立，

化簡(jiǎn)整理得，這是關(guān)于的恒等式，

所以所以或

（法二：）若，則由，得

由，解得：；

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

若，則由，得，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，

由，解得：；

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

所以或

考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用