Question

已知周期為4的函數(shù)f（x）=

m 1-x2 ，(-1≤x≤1) 1-|x-2|，(1＜x≤3)

，其中m＞0，若關(guān)于x的方，3f（x）=x恰有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（　�。�

• A、（

  15

  3

  ，

  7

  ）
• B、（

  4

  3

  ，

  7

  ）
• C、（

  4

  3

  ，

  5

  3

  ）
• D、（

  15

  3

  ，3）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時(shí)，f（x）的圖象為半個(gè)橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則需直線y=

x

3

與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)橢圓不公共點(diǎn)．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．

解答： 解：∵當(dāng)x∈（[-1，1]時(shí)，將函數(shù)化為方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），∴實(shí)質(zhì)上為半橢圓，
根據(jù)函數(shù)是周期為4的函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時(shí)，f（x）的圖象也為半個(gè)橢圓，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]得圖象，
再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，其圖象如圖所示，


由圖易知直線 y=

x

3

與第二個(gè)橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，
而與第三個(gè)半橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）無公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，
將 y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m＞

15

3

，
同樣由 y=

x

3

與第三個(gè)橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）無公共點(diǎn)時(shí)，由△＜0可計(jì)算得 m＜

7

，
綜上可知m∈（

15

3

，

7

）
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，及函數(shù)的周期性，其中根據(jù)方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式進(jìn)行分析是解答本題的關(guān)鍵．