Question

已知周期為4的函數f（x）=

m 1-x2 ，(-1≤x≤1) 1-|x-2|，(1＜x≤3)

，其中m＞0，若關于x的方，3f（x）=x恰有5個不同實數解，則m的取值范圍是（　�。�

• A、（

  15

  3

  ，

  7

  ）
• B、（

  4

  3

  ，

  7

  ）
• C、（

  4

  3

  ，

  5

  3

  ）
• D、（

  15

  3

  ，3）

Answer 1

考點：函數的周期性,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：根據對函數的解析式進行變形后發(fā)現當x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象為半個橢圓．根據圖象推斷要使方程恰有5個實數解，則需直線y=

x

3

與第二個橢圓相交，而與第三個橢圓不公共點．把直線分別代入橢圓方程，根據△可求得m的范圍．

解答： 解：∵當x∈（[-1，1]時，將函數化為方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），∴實質上為半橢圓，
根據函數是周期為4的函數，當x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象也為半個橢圓，同時在坐標系中作出當x∈（1，3]得圖象，
再根據周期性作出函數其它部分的圖象，其圖象如圖所示，


由圖易知直線 y=

x

3

與第二個橢圓（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，
而與第三個半橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）無公共點時，方程恰有5個實數解，
將 y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m＞

15

3

，
同樣由 y=

x

3

與第三個橢圓（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）無公共點時，由△＜0可計算得 m＜

7

，
綜上可知m∈（

15

3

，

7

）
故選：A．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，及函數的周期性，其中根據方程根與函數零點的關系，結合函數解析式進行分析是解答本題的關鍵．