Question

設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，已知2a_n-2ⁿ=S_n．
（1）證明{a_n-n•2^n-1}是等比數(shù)列；
（2）求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由2a_n-2ⁿ=S_n，可得當(dāng)n≥2時(shí)，2an-1-2n-1=Sn-1，兩式相減即可證明．
（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出an-n•2n-1=（2-1）×2^n-1．

解答： （1）證明：∵2a_n-2ⁿ=S_n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，2an-1-2n-1=Sn-1，兩式相減可得2an-2an-1-2n-1=a_n．
化為an-n•2n-1=2[an-1-(n-1)•2n-2]，
又2a₁-2=a₁，解得a₁=2．
∴{a_n-n•2^n-1}是等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得an-n•2n-1=（2-1）×2^n-1，
∴a_n=（n+1）×2^n-1．

點(diǎn)評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．