Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列3個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x³
②f（x）=e^x
③f(x)=cos

π

2

x
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有（　�。�

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，可以得到函數(shù)的定義域和值域相同．

解答：解①若f（x）=x³函數(shù)單調(diào)遞增，若滿足條件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

a3=a b3=b

，所以當(dāng)a=0，b=1時(shí)滿足條件，即此時(shí)的穩(wěn)定區(qū)間為[0，1]，所以①正確．
②若f（x）=e^x函數(shù)單調(diào)遞增，若滿足條件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

ea=a eb=b

，即a，b是方程e^x=x的兩個(gè)根，作出函數(shù)y=e^x和y=x的圖象，由圖象可知兩個(gè)圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，所以②不存在穩(wěn)定區(qū)間．
③由余弦型函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]為函數(shù)f(x)=cos

π

2

x的一個(gè)穩(wěn)定區(qū)間，所以③正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．