Question

20．在△ABC中，已知B=60°，c=2，1≤a≤4，則sinC的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出b與a的關(guān)系，利用正弦定理推出sinC的表達(dá)式，然后求解范圍．

解答 解：由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²-2a+4，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-2a+4}$，
于是由正弦定理可得sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{a}^{2}-2a+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{a}^{2}-2a+4}}$，
∵1≤a≤4，$\sqrt{{a}^{2}-2a+4}$=$\sqrt{（{a-1）}^{2}+3}$∈[$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，
從而得到sinC的取值范圍是：[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，考查了余弦定理和正弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．