Question

10．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），求：
（1）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；
（2）直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形面積最小時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為 y=3x，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為：x+y=k，把點(diǎn)（1，3）代入直線的方程可得k值，即得所求的直線方程，
（2）設(shè)直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1（a＞0，b＞0）$，根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式即可求出最值，繼而得到直線方程．

解答 解：（1）若直線l的截距為0，則直線方程為y=3x；
若直線l的截距不為零，則可設(shè)直線方程為：x+y=k，由題設(shè)有1+3=k，所以直線方程為：x+y-4=0 
綜上，所求直線的方程為3x-y=0或x+y-4=0．
（2）設(shè)直線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1（a＞0，b＞0）$，$\frac{1}{a}+\frac{3}=1$，而面積$S=\frac{1}{2}ab$，又由$\frac{1}{a}+\frac{3}=1$得　$1=\frac{1}{a}+\frac{3}≥2\sqrt{\frac{1}{a}\frac{3}}?ab≥12$ 
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{a}=\frac{3}=\frac{1}{2}$成立，即當(dāng)a=2，b=6時(shí)，面積最小為12
所求直線方程為3x+y-6=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的截距式方程，利用基本不等式求最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法等知識(shí)，是基礎(chǔ)題．