Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前 n項(xiàng)和為 S_n，且滿(mǎn)足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，設(shè)${b_n}=\frac{{2{a_n}-1}}{{{3^{a_n}}}}$，則數(shù)列{b_n}的前 n項(xiàng)和為$1-\frac{n+1}{3^n}$．

Answer 1

分析 a_n•a_n+1=2S_n，a₁=1．n=1時(shí)，a₂=2．n≥2時(shí)，可得a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n≠0，a_n+1-a_n-1=2，因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差都為2，其中a₁=1，a₂=2．可得：a_n=n.${b_n}=\frac{{2{a_n}-1}}{{{3^{a_n}}}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，再利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n•a_n+1=2S_n，a₁=1
∴n=1時(shí)，a₂=2．
n≥2時(shí)，a_n-1a_n=2S_n-1，可得a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差都為2，其中a₁=1，a₂=2．
∴n為奇數(shù)時(shí)，a_n=1+$（\frac{n+1}{2}-1）×2$=n．
n為偶數(shù)時(shí)，a_n=2+$（\frac{n}{2}-1）$×2=n．
綜上可得：a_n=n．
${b_n}=\frac{{2{a_n}-1}}{{{3^{a_n}}}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
則數(shù)列{b_n}的前 n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+$$2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
化為：T_n=$1-\frac{n+1}{3^n}$．
故答案為：$1-\frac{n+1}{3^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．