Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x=-

1

3

是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-3，利用f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，可得3x²-2ax-3≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）依題意x=-

1

3

是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(-

1

3

)=0，從而可得f（x）=x³-4x²-3x，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而可求f（x）在[1，4]上的最大值；
（3）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根，即方程x²-4x-3-b=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，從而可求實(shí)數(shù)b的取值范圍

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-3
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
即3x²-2ax-3≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
則必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0（5分）
（2）依題意x=-

1

3

是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(-

1

3

)=0
即

1

3

+

2

3

a-3=0
∴a=4，∴f（x）=x³-4x²-3x（6分）
令f′（x）=3x²-8x-3=0，得x1=-

1

3

，x2=3則
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6		-18		-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6（10分）
（3）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根（12分）
∴x³-4x²-3x-bx=0恰有3個(gè)不等實(shí)根
∵x=0是其中一個(gè)根，
∴方程x²-4x-3-b=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，
∴

△=16+4(3+b)＞0 -3-b≠0

∴b＞-7，且b≠-3（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根．