Question

18．已知直線l與雙曲線x²-y²=1交于A、B兩點，若線段AB的中點為C（2，1），則直線l的斜率為（　�。�

• A． -2
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，代入雙曲線方程，作差后利用中點坐標公式代入即可求得直線l的斜率．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在雙曲線上，∴${{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=1$，${{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=1$，
兩式作差可得：${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$，即（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵線段AB的中點為C（2，1），∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{4}{2}=2$．
即直線l的斜率為2．
故選：C．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了“點差法”求直線的斜率，涉及中點弦問題，常采用這種方法，是中檔題．