Question

7．若非零向量$\vec a$與向量$\vec b$的夾角為鈍角，$|{\vec b}|=2$，且當(dāng)t=-2時(shí)，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\frac{6}{5}$，則$\vec a•（{\vec b-\vec a}）$等于（　�。�

• A． $-\frac{48}{25}$
• B． -2
• C． $-\frac{11}{5}$
• D． $\frac{9}{5}$

Answer 1

分析 由已知當(dāng)t=-2時(shí)，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\frac{6}{5}$，利用二次函數(shù)的配方法求得$|{\vec a}|=\frac{4}{5}$，cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$-\frac{4}{5}$，展開(kāi)$\vec a•（{\vec b-\vec a}）$后代值得答案．

解答 解：由$|\overrightarrow-t\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{|}^{2}-2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$$（t-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}）^{2}$$+|\overrightarrow{|}^{2}$$-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$，
∵當(dāng)t=-2時(shí)，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=-2$，$4-\frac{（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{6}{5}$，
解得：$|{\vec a}|=\frac{4}{5}$，cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$-\frac{4}{5}$，
∴$\vec a•（{\vec b-\vec a}）=\vec a•\vec b-{\vec a^2}=\frac{4}{5}×2×（{-\frac{4}{5}}）-\frac{16}{25}=-\frac{48}{25}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是由t=-2時(shí)，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\frac{6}{5}$求出$|\overrightarrow{a}|$和cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，是中檔題．