Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-2|
（Ⅰ）若?x∈R，f（x）≥6a-a²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=9圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由題意得，關(guān)于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a²在R恒成立，求出左邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（Ⅱ）圖象與直線y=9圍成的封閉圖形是等腰梯形，上底長(zhǎng)為9，下底長(zhǎng)為5，高為4，即可求函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=9圍成的封閉圖形的面積．

解答 解：（Ⅰ） 由題意得，關(guān)于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a²在R恒成立，
因?yàn)閨x+3|+|x-2|≥|（x+3）-（x-2）|=5，所以6a-a²≤5，
解得a≤1或a≥5．
（Ⅱ）f（x）=9，可得x=-5或x=4，如圖所示，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=9圍成的封閉圖形是等腰梯形，上底長(zhǎng)為9，下底長(zhǎng)為5，高為4，面積為$\frac{（9+5）×4}{2}$=28．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值函數(shù)，考查恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．