Question

（2009•朝陽(yáng)區(qū)二模）在袋子中裝有10個(gè)大小相同的小球，其中黑球有3個(gè)，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）個(gè)，其余的球?yàn)榧t球．
（Ⅰ）若n=5，從袋中任取1個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）從袋里任意取出2個(gè)球，如果這兩個(gè)球的顏色相同的概率是

4

15

，求紅球的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從袋里任意取出2個(gè)球．若取出1個(gè)白球記1分，取出1個(gè)黑球記2分，取出1個(gè)紅球記3分．用ξ表示取出的2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)的和，寫(xiě)出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出從袋中任取1個(gè)球是紅球的概率，再利用獨(dú)立事件的概率公式可求三次取球中恰有2個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）根據(jù)從袋中一次任取2個(gè)球，如果這2個(gè)球顏色相同的概率是

4

15

建立等式關(guān)系，求出n的值，從而求出紅球的個(gè)數(shù)．
（Ⅲ）ξ的取值為2，3，4，5，6，然后分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式解之即可；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)“從袋中任取1個(gè)球是紅球”為事件A，則P(A)=

1

5

．
所以，P3(2)=

C

2 3

•(

1

5

)2•

4

5

=

12

125

．
答：三次取球中恰有2個(gè)紅球的概率為

12

125

．    …（4分）
（Ⅱ）設(shè)“從袋里任意取出2個(gè)球，球的顏色相同”為事件B，則P(B)=

C 2 3 + C 2 n + C 2 7-n

C 2 10

=

6+n(n-1)+(7-n)(6-n)

90

=

4

15

，
整理得：n²-7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．
所以，紅球的個(gè)數(shù)為3個(gè)．        …（8分）
（Ⅲ）ξ的取值為2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

，P(ξ=3)=

C 1 4 C 1 3

C 2 10

=

4

15

，P(ξ=4)=

C 1 3 C 1 4 + C 2 3

C 2 10

=

1

3

，P(ξ=5)=

C 1 3 C 1 3

C 2 10

=

1

5

，P(ξ=6)=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

．
所以ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5	6
P	2 15	4 15	1 3	1 5	1 15

所以，Eξ=2×

2

15

+3×

4

15

+4×

1

3

+5×

1

5

+6×

1

15

=

19

5

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以摸球?yàn)樗夭�，主要考查相互�?dú)立事件的概率的求法，考查了離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，解題的關(guān)鍵是正確利用公式求概率．