Question

（12分）已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線L與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到Ｌ的距離的，求△AOB面積的最大值。

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：可以巧用離心率，不妨設(shè)，由短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，，則，所以橢圓C的方程為，第二步先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去后得關(guān)于的一元二次方程，寫(xiě)出，寫(xiě)出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，又坐標(biāo)原點(diǎn)O到Ｌ的距離的，得到一個(gè)和的等量關(guān)系，代入面積表達(dá)式后，借助均值不等式求出最大值即可.

試題解析：（1）不妨設(shè)，由短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，，則，所以橢圓C的方程為，

（2）設(shè)直線的方程為，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的，又，消去 得：，設(shè)，則有

∴

由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)符合

當(dāng)斜率不存在時(shí)，，此時(shí)

綜上所述：

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求橢圓的方程；2.設(shè)而不求；3.弦長(zhǎng)公式；4.均值不等式求最值；