Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)（）.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出
的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1） （2）存在,11

解析試題分析：
（1）解法一：根據(jù)是與的等差中項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)得到，（）①,
當(dāng)時有 ②,則①-②可得，從而可得數(shù)列通項(xiàng).
解法二:根據(jù)是與的等差中項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)得到，（）①,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列,從而求得,進(jìn)而利用得到數(shù)列的通項(xiàng).
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項(xiàng)和;代入化簡,討論的奇偶發(fā)現(xiàn), 為奇數(shù)時,恒成立; 為偶數(shù)時,可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù).
試題解析：（1）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/98/1/ad4us1.png" style="vertical-align:middle;" />是與的等差中項(xiàng)，
所以（），即，（）①
當(dāng)時有 ②                             
①-②得，即對都成立     
又根據(jù)①有即，所以
所以. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.
解法二：  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/98/1/ad4us1.png" style="vertical-align:middle;" />是與的等差中項(xiàng)，
所以（），即，（）
由此得（），
又，所以（），
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 
得，即（），
所以，當(dāng)時，，     
又時，也適合上式，所以.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知,
數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,
所以