Question

函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間[m,n] D，使得函數(shù)滿足：①
在[m,n]上是單調函數(shù)；②在[m,n]上的值域為[2m,2n]，則稱區(qū)間[m,n]為的
“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有        (填上所有正確的序號)
①；           ②；
③；        ④ 

Answer 1

①③④．

解：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數(shù)；②
f(a)="2a," f(b)=2b或f(a)="2b," f(b)=2a
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，則
A=0,b=2
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區(qū)間”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值區(qū)間”[a，b]，則f(a)="2a," f(b)=2b
構建函數(shù)g（x）=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，∴函數(shù)在（-∞，0）上單調減，在（0，+∞）上單調增，∴函數(shù)在x=0處取得極小值，且為最小值．∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e^x-x=0無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
③f(x)=
若存在“倍值區(qū)間”[a，b]⊆[0，1]，則f(a)="2a," f(b)=2b
∴a=0，b=1，若存在“倍值區(qū)間”[0，1]；
④f(x)=log_a(a^x- )，log_a(a^m-)=2m，log_a(aⁿ-)="2n" (a＞0，a≠1)．不妨設a＞1，則函數(shù)在定義域內為單調增函數(shù)
若存在“倍值區(qū)間”[m，n]，則log_a(aⁿ-)=2n，log_a(a^m-)=2m
∴2m，2n是方程log_a(a^x-)=2x的兩個根，∴2m，2n是方程a^2x-a^x+=0的兩個根，由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區(qū)間”[m，n]；綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④
故選C．