Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)．

①求證：；

②求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）見(jiàn)解析；（ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率與垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)列出方程，求得的值，從而得到橢圓方程；（II）方法一：（i）分直線(xiàn)的斜率是否為0討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合判別式求得的范圍，從而由使問(wèn)題得證；（ii）由＝結(jié)合（ⅰ）用韋達(dá)定理寫(xiě)出表達(dá)式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程，由判別式求得的取值范圍，從而由使問(wèn)題得證；（ii）由弦長(zhǎng)公式求得，用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求得邊上的高線(xiàn)長(zhǎng)，從而得到的表達(dá)式，進(jìn)而用換元法求解．

試題解析：解：（1）， 又，

所以．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）（i）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然，滿(mǎn)足題意

當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)，AB方程為代入橢圓方程

整理得，則，所以

，

，即

（ii）

當(dāng)且僅當(dāng)，即．（此時(shí)適合△＞0的條件）取得等號(hào)．

三角形面積的最大值是

方法二（i）由題知，直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，

設(shè)，聯(lián)立，整理得，

則，所以

，

，即

（ii）

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

=

．

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合△＞0的條件）時(shí)，，即

三角形面積的最大值是