【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C相切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的割線PQ，割線PQ與拋物線C的另一交點(diǎn)為Q，A為PQ的中點(diǎn).過(guò)A作y軸的垂線與y軸交于點(diǎn)H，與直線l相交于點(diǎn)N，M為線段AN的中點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)割線PQ變化時(shí)，總有為定值？若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）存在點(diǎn)，使得恒為定值1.

【解析】

（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合根的判別式可求出的值；

（2）先算出點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，算出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，得出點(diǎn)在拋物線上，利用拋物線定義可得為定值1．

（1）由，得，

即①.

依題意，.

解得.

所以拋物線C的方程為.

（2）由，代入①得，解得，

代入切線l得，所以點(diǎn)，

設(shè)，則，所以.

依題意，將，代入直線l，

得，

所以AN的中點(diǎn)為，

又，所以，

所以AN的中點(diǎn)M在拋物線C上.

由拋物線的定義可知，當(dāng)T為拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，

等于M到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以.

所以存在點(diǎn)，使得恒為定值1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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