Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+1的圖象與直線y=x-a+2015恰有一個(gè)公共點(diǎn)，關(guān)于x的不等式log_a$\frac{x+1}{x-1}$＞log_a$\frac{m}{x+2}$在[1，+∞）上恒成立．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2$\sqrt{6}$+5）．

Answer 1

分析 先根據(jù)f（x）=lnx+1與直線y=x-a+2015相切得出a的值，在根據(jù)不等式恒成立得出$\frac{x+1}{x-1}與\frac{m}{x+2}$的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx+1的圖象與直線y=x-a+2015恰有一個(gè)公共點(diǎn)，∴y=x-a+2015是函數(shù)f（x）=lnx+1的切線，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{f′（{x}_{0}）=1}\\{f（{x}_{0}）={x}_{0}-a+2015}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=1，a=2015．
∴l(xiāng)og₂₀₁₅$\frac{x+1}{x-1}$＞log₂₀₁₅$\frac{m}{x+2}$在[1，+∞）上恒成立，∴$\frac{x+1}{x-1}$＞$\frac{m}{x+2}$＞0在[1，+∞）恒成立，
即0＜m＜$\frac{（x+1）（x+2）}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{（x+1）（x+2）}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}+3x+2}{x-1}$=x-1+$\frac{6}{x-1}$+5，則g（x）≥2$\sqrt{6}$+5，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{6}{x-1}$即x=1+$\sqrt{6}$時(shí)取等號(hào)．
∴0＜m＜2$\sqrt{6}$+5．
故答案為（0，2$\sqrt{6}$+5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的最值，基本不等式及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．