Question

4．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{4}$，tanB=$\frac{3}{5}$．
（1）若△ABC最大邊的長為$\sqrt{17}$，求最小邊的長；
（2）若△ABC的面積為6，求AC邊上的中線BD的長．

Answer 1

分析 （1）利用tanC=-tan（A+B）=-1，求出內(nèi)角C的大小，可得AB=$\sqrt{17}$，BC為所求，求出sinA，再利用正弦定理即可求出最小邊的邊長．
（2）由已知及（1）可得sinB=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$，sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由正弦定理可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，解得R的值，從而可求b=6$\sqrt{2}$，a=4，利用余弦定理即可求得BD的值．

解答 解：（1）∵C=π-（A+B），tanA=$\frac{1}{4}$，tanB=$\frac{3}{5}$，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{4}×\frac{3}{5}}$=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=$\frac{3π}{4}$；
∴△ABC最大邊為AB，且AB=$\sqrt{17}$，最小邊為BC，
由tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{4}$，sin²A+cos²A=1且A∈（0，$\frac{π}{2}$），得sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
∵$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，
∴BC=AB•$\frac{sinA}{sinC}$=$\sqrt{2}$．
即最小邊的邊長為$\sqrt{2}$．
（2）由tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{3}{5}$，sin²B+cos²B=1且B∈（0，$\frac{π}{2}$），得sinB=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$，
由（1）可得：sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵由已知及正弦定理可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，
整理可得：R²×$\frac{\sqrt{17}}{17}$×$\frac{3\sqrt{34}}{34}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6，解得：R=2$\sqrt{17}$，b=AC=2RsinB=6$\sqrt{2}$，a=2RsinA=4，
∴由余弦定理可得：BD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}b）^{2}-2×a×\frac{1}{2}b×cosC}$=$\sqrt{16+18+24}$=$\sqrt{58}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查和角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．