Question

9．設(shè)f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（1）當(dāng)ω=1時，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用兩角和余差的基本公式以及誘導(dǎo)公式等將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（2）結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求增區(qū)間的范圍．f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，可得ω的最大值．

解答 解：（1）f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}$）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
化簡可得：：f（x）=4sinωx[cosωx×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx]+cos2ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx+2sin²ωx+cos2ωx=1+$\sqrt{3}$sin2ωx
當(dāng)ω=1時，函數(shù)y=f（x）=1+$\sqrt{3}$sin2x
根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：f（x）的值域的值域為[1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]．
（2）由（1）可得f（x）=1+$\sqrt{3}$sin2ωx
∴2k$π-\frac{π}{2}$≤2ωx≤$2kπ+\frac{π}{2}$
解得：$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}$≤x≤$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}$，k∈Z
故得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為：[$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}$，$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}$]k∈Z．
∵f（x）在區(qū)間[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
故：$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}$≤$-\frac{3π}{2}$且$\frac{π}{2}$≤$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}$，k∈Z
解得：$ω≤\frac{1-4k}{6}$且$\frac{4k+1}{2}≥ω$，k∈Z
∵ω＞0．
當(dāng)k=0時，滿足題意，此時ω=$\frac{1}{6}$．
故得ω的最大值為$\frac{1}{6}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．