Question

1．已知函數(shù)f（x）=k（x+1）²-x，g（x）=2^x-k•2^-x（k∈R且k≠0）
（1）若f（1）=23，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域；
（2）當(dāng)-3＜g（1）＜3時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值大于h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$在（0，+∞]上的最小值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=23，求出k的值，求出g（x）的解析式，從而求出g（x）在[0，1]的值域即可；
（2）分別求出f（x）和g（x）的最小值，得到關(guān)于k的不等式，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（1）=23，∴k=6，∴g（x）=2^x-6•2^-x，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g（x）為增函數(shù)，
則g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇-5，-1]．
（2）令t=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，∵x＞0，∴t≥2，
∴h（t）=t+$\frac{2}{t}$（t≥2），又y=t+$\frac{2}{t}$在[2，+∞）上遞增，
∴當(dāng)t=2時(shí)，h（x）_min=3．
∵-3＜g（1）＜3，∴-2＜k＜10，又k≠0，
∴-2＜k＜0或0＜k＜10，
f（x）=kx²+（2k-1）x+k=k${（x+\frac{2k-1}{2k}）}^{2}$+$\frac{4k-1}{4k}$，
對(duì)稱軸方程為x=$\frac{1}{2k}$-1，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤k＜10時(shí)，$\frac{1}{2k}$-1≤0，∴f（x）在[0，2]上遞減，
f（x）_min=f（0）=k＞3，又$\frac{1}{2}$≤k＜10，∴3＜k＜10．
當(dāng)0＜k≤$\frac{1}{6}$時(shí)，$\frac{1}{2k}$-1≥2，∴f（x）在[0，2]上遞減，
f（x）_min=f（2）=9k-2＞3，∴k＞$\frac{5}{9}$，又0＜k≤$\frac{1}{6}$，∴無解．
當(dāng)$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜$\frac{1}{2k}$-1＜2，
∴f（x）_min=$\frac{4k-1}{4k}$＞3，∴-$\frac{1}{8}$＜k＜0，
又$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$，∴無解．
當(dāng)-2＜k＜0時(shí)，$\frac{1}{2k}$-1＜0，
∴f（x）在[0，2]上遞減，
∴f（x）_min=f（2）=9k-2＞3，又-2＜k＜0，∴無解．
綜上，k∈（3，10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．