Question

已知f_{（α，β）}（x）=（α+

1

x

）^x+β（x＞0，α≥0，β≥0）
①令g（x）=ln（f_{（1，1）}（x）），求證：g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
②若f_{（α，0）}（x）≤e在（0，+∞）上恒成立，求α的取值范圍．（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①由g′(x)=ln(1+

1

x

)-

1

x

，令h（x）=ln(1+

1

x

)-

1

x

，則h′(x)=

1

x2(x+1)

＞0，由此能證明g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
②由已知得xln（α+

1

x

）≤1在（0，+∞）上恒成立，從而α≤(e

1

x

-

1

x

)min，由此能求出α的取值范圍．

解答： ①證明：由題意可得：g（x）=ln(1+

1

x

)x+1=（x+1）ln(1+

1

x

)，
∴g′(x)=ln(1+

1

x

)-

1

x

，令h（x）=ln(1+

1

x

)-

1

x

，
則h′(x)=

1

x2(x+1)

＞0，
∴函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
②解：∵f_（a，0）（x）=≤e在（0，+∞）上恒成立，
∴xln（α+

1

x

）≤1在（0，+∞）上恒成立，
∴α+

1

x

≤e

1

x

在（0，+∞）上恒成立，∴α≤(e

1

x

-

1

x

)min，
令t=

1

x

，則t∈（0，+∞），
設(shè)h（x）=e^t-t，則h′（t）=e^t-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（t）＜h（0）=1，
0≤α≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．