設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax2-bx．
（1）當(dāng)a=b=
1
2
時(shí)，求f（x）的最大值．
（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx（0＜x≤3），其圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率k≤
1
2
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）當(dāng)a=b=
1
2
時(shí)，f'（x）=
-(x+2)(x-1)
2x
，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的最大值．
（2）F（x）=lnx+
a
x
，x∈（0，3]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答： 解：（1）依題意，知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a=b=
1
2
時(shí)，f（x）=lnx-
1
4
x2-
1
2
x，
f'（x）=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x
，
令f'（x）=0，解得x=1或x=-2（舍去）．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增加的；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減少的．
所以f（x）的極大值為f（1）=-
3
4
，
即f（x）的最大值是-
3
4
．
（2）F（x）=lnx+
a
x
，x∈（0，3]，
則有k=F'（x0）=
x0-a
x02
≤
1
2
在（0，3]上恒成立，
所以a≥（-
1
2
x02+x0）max，
當(dāng)x0=1時(shí)，-
1
2
x02+x0取得最大值
1
2
，所以a≥
1
2
．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=x3-27（x≥0），則{x|f（x-3）＞0}=（　　）
A、{x|x＞3}
B、{x|x＜0或x＞6}
C、{x|x＞6}
D、{x|x＜-3或x＞3}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=mx-
m-1
x
-lnx，m∈R，函數(shù)g（x）=
1
cosθ•x
+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈[0，
π
2
）．
（1）求θ的取值范圍；c
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）若在[1，e]上至少存在一個(gè)x0，使得h（x0）＞
2e
x0
成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3x2+a，g（x）=2ax+1，a∈R
（1）證明：方程f（x）=g（x）恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上無零點(diǎn)，請你探究函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上的單調(diào)性；
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），若對任意的x∈（0，1），恒有：-1＜F（x）＜1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-
1
4
a-
1
2
，
（1）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x
3
 
+a
x
2
 
+bx．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)以a2-b取最大值時(shí)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a=-1，在曲線y=f（x）上是否存在唯一的點(diǎn)P，使曲線在點(diǎn)P處的切線l與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3-ax2-4x+4a
（1）若a=
1
2
，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=a和x=b是函數(shù)f（x）=lnx+
1
2
x2-（m+2）x的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中a＜b，m∈R．
（1）求f（a）+f（b）的取值范圍；
（2）若m≥
e
+
1
e
-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求f（b）-f（a）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（α，β）（x）=（α+
1
x
）x+β（x＞0，α≥0，β≥0）
①令g（x）=ln（f（1，1）（x）），求證：g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
②若f（α，0）（x）≤e在（0，+∞）上恒成立，求α的取值范圍．（e為自然對數(shù)底數(shù)）

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