Question

18．過點(diǎn)P（-1，1）作圓C：（x-t）²+（y-t+2）²=1（t∈R）的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量數(shù)量積的定義可求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：圓C：（x-t）²+（y-t+2）²=1的圓心坐標(biāo)為（t，t-2），半徑為1，
∴PC=$\sqrt{（t+1）^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{2（t-1）^{2}+8}$≥2$\sqrt{2}$，PA=PB=$\sqrt{P{C}^{2}-1}$，
cos∠APC=$\frac{AP}{PC}$，∴cos∠APB=2（$\frac{AP}{PC}$）²-1=1-$\frac{2}{P{C}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（PC²-1）（1-$\frac{2}{P{C}^{2}}$）=-3+PC²+$\frac{2}{P{C}^{2}}$$≥-3+8+\frac{1}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為$\frac{16}{3}$．
故答案為$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用及平面向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用，屬于中檔題．