Question

10．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p-2cosθ+2sinθ=0，以極點(diǎn)為平頂直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（r為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)極坐標(biāo)兩邊同乘ρ得到直角坐標(biāo)方程，將參數(shù)方程兩式相減消去參數(shù)得到普通方程；
（2）把直線參數(shù)方程代入曲線普通方程，利用參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)得關(guān)系解出|AB|．

解答 解：（1）∵p-2cosθ+2sinθ=0，∴ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ=0．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是x²+y²-2x+2y=0，即（x-1）²+（y+1）²=2．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），∴y-x=$\frac{1}{2}$．∴直線l的普通方程是y-x=$\frac{1}{2}$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+y²-2x+2y=0得4t²+2$\sqrt{2}$t-3=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，t₁t₂=-$\frac{3}{4}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．