Question

3．已知線段AB的長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=λ（λ為負(fù)常數(shù)），且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)λ的最大值是-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意建立坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)C在圓內(nèi)，B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜$\frac{1}{2}$），從而利用坐標(biāo)表示出向量，從而可得λ=-2rcosa+r²，從而求得．

解答 解：由題意建立坐標(biāo)系如右圖，
假設(shè)點(diǎn)C在圓內(nèi)，
則B（0，0），A（2，0），C（rcosa，rsina），（r＜$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{CA}$=（2-rcosa，-rsina），$\overrightarrow{CB}$=（-rcosa，-rsina），
∴λ=（2-rcosa，-rsina）•（-rcosa，-rsina）
=-2rcosa+r²（cos²a+sin²a）
=-2rcosa+r²，
∴r²-2r≤λ≤r²+2r，
故-$\frac{3}{4}$＜λ＜$\frac{5}{4}$，
∵點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓內(nèi)，
∴λ≤-$\frac{3}{4}$或λ≥$\frac{5}{4}$（舍）；
故實(shí)數(shù)λ的最大值是-$\frac{3}{4}$，
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用及數(shù)量積的求法，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．