Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+2x²在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-5，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥-4x-$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，令g（x）=-4x-$\frac{1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+a+4x=$\frac{{4x}^{2}+ax+1}{x}$，
若f（x）在（1，+∞）遞增，
則4x²+ax+1≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
即a≥-4x-$\frac{1}{x}$在x∈（1，+∞）恒成立，
令g（x）=-4x-$\frac{1}{x}$，g′（x）=-4+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-4x}{x}$＜0，
g（x）在（1，+∞）遞減，
∴g（x）＜g（1）=-5，
故a≥-5，
故答案為：[-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．