Question

3．（1）已知a，b，c∈R，且滿足a+b+c=1，求證：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．提示：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
（2）若x，y都是正實數，且x+y＞2，求證：$\frac{1+x}{y}$＜2與$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一個成立．

Answer 1

分析 （1）由a+b+c=1兩邊平方，再由基本不等式即可得證．
（2）證明結論中結構較復雜，而其否定結構簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結論成立

解答 證明：（1）由a+b+c=1平方可得，（a+b+c）²=1，
即為1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（b²+c²）+（c²+a²）
=3（a²+b²+c²），
則a²+b²+c²≥1（當且僅當a=b=c時取得等號）．
（2）假設$\frac{1+x}{y}$＜2與$\frac{1+y}{x}$＜2都不成立，
則有$\frac{1+x}{y}$≥2與$\frac{1+y}{x}$≥2同時成立，
因為x＞0且y＞0，所以1+x≥2y且1+y≥2x．
兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，
所以x+y≤2，
這與已知條件x+y＞2矛盾，
因此$\frac{1+x}{y}$＜2與$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一個成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，注意滿足的條件：一正二定三等，考查推理能力，反證法證明命題，在作證明題時，對于一些條件相對較少或者證明時需要分類討論的題型，最好試試用反證法能否證明問題屬于中檔題．