Question

【題目】定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）實(shí)數(shù)一個(gè)“λ一半隨函數(shù)”，有下列關(guān)于“λ一半隨函數(shù)”的結(jié)論：①若f（x）為“1一半隨函數(shù)”，則f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=ax為一個(gè)“λ一半隨函數(shù)；③“ 一半隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；④f（x）=x2是一個(gè)“λ一班隨函數(shù)”；其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①、若f（x）為“1一半隨函數(shù)”，則f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），

可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正確；

②、假設(shè)f（x）=ax是一個(gè)“λ一半隨函數(shù)”，則ax+λ+λax=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，

則有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ax是“λ一半隨函數(shù)”，故②正確．

③、令x=0，得f（ ）+ f（0）=0．所以f（ ）=﹣ f（0），

若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（ ）f（0）=﹣ （f（0））2＜0，

又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0， ）上必有實(shí)數(shù)根，

因此任意的“﹣ 一半隨函數(shù)”必有根，即任意“﹣ 一半隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．故③正確．

④、假設(shè)f（x）=x2是一個(gè)“λ一半隨函數(shù)”，則（x+λ）2+λx2=0，

即（1+λ）x2+2λx+λ2=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式無(wú)解，所以f（x）=x2不是一個(gè)“λ﹣同伴函數(shù)”．故④錯(cuò)誤

正確判斷：①②③．

故選：C．