【題目】已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）若sin2x+af（x+ ）+1＞6cos4x對任意x∈（﹣ ， ）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1，

可得：f（x）=4cosx（ sinx+ cosx）﹣1

= sin2x+2cos2x﹣1

= sin2x+cos2x

=2sin（2x+ ）

由 （k∈Z），

解得：

所以：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

（Ⅱ）由題意：當(dāng) 時(shí)，

原不等式等價(jià)于a2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，

即 恒成立

令 =

∵ ，當(dāng)x=0時(shí)，cosx取得最大值，即cosx=1時(shí)，那么g（x）也取得最大值為 ．

因此， ．


【解析】（Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求出f（x+ ）的值，帶到題設(shè)中去，化簡，求函數(shù)在x∈（﹣ ， ）的最值，即可恒成立，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【考點(diǎn)精析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的最值對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）實(shí)數(shù)一個(gè)“λ一半隨函數(shù)”，有下列關(guān)于“λ一半隨函數(shù)”的結(jié)論：①若f（x）為“1一半隨函數(shù)”，則f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=ax為一個(gè)“λ一半隨函數(shù)；③“ 一半隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；④f（x）=x2是一個(gè)“λ一班隨函數(shù)”；其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A（1，a），B（﹣5，﹣3），C（4，0）；
（1）當(dāng)a∈（ ，3）時(shí)，求直線AC的傾斜角α的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求△ABC的BC邊上的高AH所在直線方程l．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在[2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出人．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0


（1）畫出散點(diǎn)圖并判斷是否線性相關(guān)；
（2）如果線性相關(guān)，求線性回歸方程；
（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣ 對稱
B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣ ，0）對稱
C.若方程f（x）=m在[﹣ ，0]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m∈（﹣2，﹣ ]
D.將函數(shù)f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位可得到一個(gè)偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= cos（2x﹣ ）．
（1）若sinθ=﹣ ，θ∈（ ，2π），求f（θ+ ）的值；
（2）若x∈[ ， ]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：x2+y2+2x+a=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：mx+y+1=0對稱． （I）求m的值；
（Ⅱ）直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)， =﹣3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A為以原點(diǎn)O為圓心的單位圓O與x正半軸的交點(diǎn)，在圓心角為 的扇形AOB的弧AB上任取一點(diǎn) P，作 PN⊥OA于N，連結(jié)PO，記∠PON=θ．
（1）設(shè)△PON的面積為y，使y取得最大值時(shí)的點(diǎn)P記為E，點(diǎn)N記為F，求此時(shí) 的值；
（2）求k=a| || |+ （a∈R，E 是在（1）條件下的點(diǎn) E）的值域．

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