Question

15．已知點E（3，0），橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上有兩個動點P，Q，若EP⊥EQ，則$\overrightarrow{EP}$•$\overrightarrow{QP}$的最小值為（　　）

• A． 6
• B． 3-$\sqrt{3}$
• C． 9
• D． 9-6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)EP⊥EQ及向量的數(shù)量積的幾何意義，由$\overrightarrow{EP}$•$\overrightarrow{QP}$=丨$\overrightarrow{EP}$丨•丨$\overrightarrow{QP}$丨cos∠EPQ=EP²，利用兩點間距離公式求出EP²，根據(jù)點P在橢圓上，代入消去y，轉化為二次函數(shù)求最值問題，即可解得結果．

解答 解：設P（x，y），橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，y²=9-$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∵EP⊥EQ，
$\overrightarrow{EP}$•$\overrightarrow{QP}$=丨$\overrightarrow{EP}$丨•丨$\overrightarrow{QP}$丨cos∠EPQ=EP²，
而EP²=（x-3）²+y²=$\frac{3}{4}$（x-4）²+6，
由P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴-6≤x≤6，
當x=4時，EP²=（x-3）²+y²=$\frac{3}{4}$（x-4）²+6，有最小值6，
故答案選：A．

點評 本題考查了向量在幾何中的應用，以及向量數(shù)量積的幾何意義，和橢圓的有界性及二次函數(shù)求最值等基礎知識，注意橢圓的有界性，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力，屬于中檔題．