Question

【題目】數列{an}是公差d不為0的等差數列，a1=2，Sn為其前n項和．
（1）當a3=6時，若a1 ， a3 ， ， …， 成等比數列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），求nk的表達式；
（2）是否存在合適的公差d，使得{an}的任意前3n項中，前n項的和與后n項的和的比值等于定常數？求出d，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：數列{an}的公差d= = =2．

∴an=2+2（n﹣1）=2n，

另一方面，a1，a3， ， …， 成等比數列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），

∴q= =3．

∴ ═a13k+2﹣1=2nk，

∴nk=3k+1．

（2）解：等差數列{an}中，Sn=na1+ = n2+ n，

S3n﹣S2n= ﹣ = n2+ ，

令S3n﹣S2n=λSn，則 n2+ =λ[ n2+ n]，

∴ ，解得 或 （舍去）．

∴d=4，滿足題意，且定 常數為5

【解析】（1）數列{an}的公差d= ，可得：an=2n．另一方面，a1 ， a3 ， ， …， 成等比數列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），可得q= ．利用等比數列的通項公式即可得出．（2）等差數列{an}中，Sn= n2+ n，可得S3n﹣S2n ， 令S3n﹣S2n=λSn ， 解出即可得出．
【考點精析】利用數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．