Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+3（x∈R）
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，并用定義加以證明．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+3（2≤x≤3）試?yán)�用�?）的結(jié)論直接寫出該函數(shù)的值域（用區(qū)間表示）．

Answer 1

解：（1）f （x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞）
下面用定義證明：設(shè)x₁、、x₂是[1，+∞）上任意兩個值，且x₁＜x₂
則f （x₁）-f （x₂）=-2x₁+3-（-2x₂+3）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＞0
∴∴f （x₁）-f （x₂）＜0
∴f （x₁）＜f （x₂）
∴f （x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵f （x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f （x）在[2，3]上是增函數(shù)
∴2≤x≤3時，f（x）的最大值f （3）=6，最小值f （1）=2，值域為[2，6]．
分析：（1）先寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為對稱軸的右側(cè)，再用定義進(jìn)行證明，關(guān)鍵是作差、變形定號；
（2）利用f （x）在[2，3]上是增函數(shù)，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．